通过简单测量估计稀疏度

我们考虑几个相关的问题，即通过仅观察 $\mathbf{b} = M \odot \mathbf{x}$ 来估计长度为 $n$ 的向量 $\mathbf{x}$ 中的“稀疏度”或非零元素个数 $d$，其中 $M$ 是独立于 $\mathbf{x}$ 的预先设计的测试矩阵，运算 $\odot$ 随问题而异。我们旨在以最少的测量数（$M$ 的行数）为某个常数 $\Delta$ 提供稀疏度的 $\Delta$-近似。该框架概括了多个问题，例如群体测试和压缩感知中的稀疏度估计。我们使用编码理论的技术以及概率方法证明，当运算 $\odot$ 为逻辑或（即群体测试）时，$O(D \log D \log n)$ 行是足够的，且几乎同样多数量的行是必要的，其中 $D$ 是 $d$ 的已知上界。当运算 $\odot$ 为实数域 $\mathbb{R}$ 或有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的乘法时，我们证明分别需要且仅需 $\Theta(D)$ 和 $\Theta(D \log_q \frac{n}{D})$ 次测量。