在已知和未知基上检验稀疏性
数据结构与算法
2017-09-14 v2 离散数学
摘要
稀疏性是实向量的一种基本性质，在广泛的应用中被加以利用。在这项工作中，我们描述了通过观测输入的低维投影来检验稀疏性的性质测试算法。我们考虑两种设定。在第一种设定中，对于给定的设计矩阵 A ∈ R^{d x m}，我们检验输入向量 y ∈ R^d 是否等于某个 k-稀疏单位向量 x 的 Ax。我们的算法将输入投影到 O(k ε^{-2} log m) 维，若性质成立则接受，若对于任何 O(k/ε^2)-稀疏向量 x 有 ||y - Ax|| > ε 则拒绝，并在关于 m 的多项式时间内运行。我们的算法基于近似卡拉西奥多里定理。先前已知的以定性相似保证解决任意 A 问题的算法运行时间为指数时间。在第二种设定中，设计矩阵 A 是未知的。给定输入向量 y_1, y_2,...,y_p ∈ R^d，它们作为列连接形成 Y ∈ R^{d x p}，目标是判定是否存在矩阵 A ∈ R^{d x m} 和 X ∈ R^{m x p} 使得 Y=AX 且 X 的每一列都是 k-稀疏的，或者 Y 是否“远离”具有这样的分解。我们给出了这样一个测试算法，它将输入向量投影到 O(log p/ε^2) 维，并假设未知的 A 满足 k-限制等距性。我们的分析给出了高斯宽度在稀疏性方面的一个新的鲁棒刻画。
引用
@article{arxiv.1608.01275,
title = {Testing Sparsity over Known and Unknown Bases},
author = {Siddharth Barman and Arnab Bhattacharyya and Suprovat Ghoshal},
journal= {arXiv preprint arXiv:1608.01275},
year = {2017}
}
备注
This version subsumes the previous one; 25 pages