通信约束下稀疏分布估计中打破维度依赖

我们考虑在 $b$ 比特通信约束下观测样本、估计 $d$ 维 $s$ 稀疏离散分布的问题。该问题在 $\ell_2$ 估计误差上的已知最优结果为 $O\left( \frac{s\log\left( {d}/{s}\right)}{n2^b}\right)$。令人惊讶的是,我们证明当样本量 $n$ 超过最小阈值 $n^*(s, d, b)$ 时,我们可以达到 $O\left( \frac{s}{n2^b}\right)$ 的 $\ell_2$ 估计误差。这意味着当 $n>n^*(s, d, b)$ 时,收敛速率不依赖于环境维度 $d$,且与事先已知分布支撑集时相同。我们接下来提出问题:``允许无维度收敛的最小 $n^*(s, d, b)$ 是多少?''。为给出 $n^*(s, d, b)$ 的上界,我们提出了新颖的局部化方案来准确高效地定位未知支撑集。对于非交互式设置,我们证明 $n^*(s, d, b) = O\left( \min \left( {d^2\log^2 d}/{2^b}, {s^4\log^2 d}/{2^b}\right) \right)$。此外,我们将该问题与非自适应分组测试相联系,并在 $n = \tilde{\Omega}\left({s^4\log^4 d}/{2^b}\right)$ 时获得一种多项式时间估计方案。该基于分组测试的方案对稀疏度参数 $s$ 自适应,因此可在不知晓 $s$ 的情况下应用。对于交互式设置,我们提出了一种新颖的基于树的估计方案,并证明实现无维度收敛所需的最小样本量可进一步降低至 $n^*(s, d, b) = \tilde{O}\left( {s^2\log^2 d}/{2^b} \right)$。