近最优平均采样器与矩阵采样器

我们提出了首个高效的平均采样器，其随机复杂度达到渐近最优且样本复杂度接近最优。对于任意 $\delta < \varepsilon$ 和任意常数 $\alpha > 0$，我们的采样器使用 $m + O(\log (1 / \delta))$ 个随机位输出 $t = O((\frac{1}{\varepsilon^2} \log \frac{1}{\delta})^{1 + \alpha})$ 个样本 $Z_1, \dots, Z_t \in \{0, 1\}^m$，使得对于任意函数 $f: \{0, 1\}^m \to [0, 1]$，$$\Pr\left[\left|\frac{1}{t}\sum_{i=1}^t f(Z_i) - \mathbb{E}[f]\right| \leq \varepsilon\right] \geq 1 - \delta.$$ 其随机复杂度在常数因子内达到最优，样本复杂度在 $O((\frac{1}{\varepsilon^2} \log \frac{1}{\delta})^{\alpha})$ 因子内达到最优。我们的技术可推广至矩阵采样器。矩阵采样器的定义类似，区别在于 $f: \{0, 1\}^m \to \mathbb{C}^{d \times d}$ 且绝对值被替换为谱范数。对于任意常数 $\alpha > 0$，我们的矩阵采样器实现了 $m + \widetilde O (\log(d / \delta))$ 的随机复杂度和 $O((\frac{1}{\varepsilon^2} \log \frac{d}{\delta})^{1 + \alpha})$ 的样本复杂度，两者均接近最优，仅在随机复杂度上相差一个对数因子，在样本复杂度上相差一个额外的 $\alpha$ 指数。我们利用其与随机性提取器和列表可解码码的已知联系，给出了这些对象的应用。具体而言，当极小熵 $k = \beta n$（其中 $\beta$ 为足够大的小于 1 的常数）时，我们给出了首个在大于 1 的任意小常数因子内具有最优种子长度的提取器构造。最后，我们将平均采样器的定义推广至任意赋范向量空间。