测度变换法、分块 Lewis 权重与矩阵分块范数逼近

给定矩阵 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{k \times n}$、对 $[k]$ 的分组 $S_1,\dots,S_m$、外范数 $p$ 以及一组内范数，满足 $p \ge 1$ 且 $p_1,\dots,p_m \ge 2$，或 $p_1=\dots=p_m=p \ge 1/\log n$，我们证明存在稀疏权重向量 $\mathbf{\beta} \in \mathbb{R}^{m}$ 使得 $\sum_{i=1}^m \mathbf{\beta}_i \cdot \|\mathbf{A}_{S_i}\mathbf{x}\|_{p_i}^p \approx_{1\pm\varepsilon} \sum_{i=1}^m \|\mathbf{A}_{S_i}\mathbf{x}\|_{p_i}^p$，其中 $\mathbf{\beta}$ 的非零项数目至多为 $O_{p,p_i}(\varepsilon^{-2}n^{\max(1,p/2)}(\log n)^2(\log(n/\varepsilon)))$。当 $p_1\dots,p_m \ge 2$ 时，该权重向量源于基于\textit{分块 Lewis 权重}（一种近期提出的 Lewis 权重的推广）的重要性采样过程。此外，我们证明了在若干重要的 $p$ 与 $p_1,\dots,p_m$ 取值区间内存在高效算法来求该稀疏权重向量 $\mathbf{\beta}$。我们的结果意味着，在最小化欧几里得范数之和的问题中，线性系统求解迭代复杂度为 $\widetilde{O}(\varepsilon^{-1}\sqrt{n})$，当 $m \gg n$ 时优于先前已知的 $\widetilde{O}(\sqrt{m}\log({1/\varepsilon}))$ 迭代复杂度。我们的主要技术贡献是对 Bourgain、Lindenstrauss 和 Milman 用于在每个组大小为 $1$ 时获得类似结果的\textit{测度变换}方法的实质性推广。我们的推广使得人们能够分析超出 D. Lewis 原始构造所隐含的测度变换，包括由分块 Lewis 权重所隐含的测度及其自然逼近。