稀疏方程组解的加权计数

给定复数 $w_1, \ldots, w_n$，我们将 0-1 向量集合 $X$ 的权重 $w(X)$ 定义为 $X$ 中所有向量 $(x_1, \ldots, x_n)$ 上 $w_1^{x_1} \cdots w_n^{x_n}$ 的和。我们提出了一种算法，对于由每方程至多含 $r$ 个变量且每变量至多含于 $c$ 个方程的齐次线性方程组定义的集合 $X$，在绝对常数 $\beta >0$ 且所有 $j=1, \ldots, n$ 满足 $|w_j| \leq \beta (r \sqrt{c})^{-1}$ 的条件下，该算法能在 $(rc)^{O(\ln n-\ln \epsilon)}$ 时间内以相对误差 $\epsilon >0$ 计算 $w(X)$。我们为计算 ${\Bbb F}_p$ 上线性码的权重构建了类似算法。应用包括计算超图中加权完美匹配的数目、计算加权图同态、计算具有稀疏码生成矩阵的线性码的权重枚举子，以及在双正则二部图上计算低温下铁磁 Potts 模型和高逸度下硬核模型的配分函数。