自仿射集的测度及相关密度

设 $B$ 为一个 $n\times n$ 实扩张矩阵，$\mathcal{D}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一个有限子集且 $0\in\mathcal{D}$。自仿射集 $K=K(B,\mathcal{D})$ 是满足集值方程 $BK=\displaystyle\bigcup_{d\in\mathcal{D}}(K+d)$ 的唯一紧集。在 $\text{card}(\mathcal{D})=\lvert\det B\rvert$ 的情形下，我们将 $K(B,\mathcal{D})$ 的 Lebesgue 测度与相关测度 $\mu=\lim\limits_{s\to\infty}\sum\limits_{\ell_0,\dotsc,\ell_{s-1}\in\mathcal{D}}\delta_{\ell_0+B\ell_1+\dotsb+B^{s-1}\ell_{s-1}}$ 的上 Beurling 密度联系起来。另一方面，若 $\text{card}(\mathcal{D})<\lvert\det B\rvert$ 且 $B$ 为相似矩阵，我们将 $K$ 的 Hausdorff 测度 $\mathcal{H}^s(K)$（其中 $s$ 为 $K$ 的相似维数）与测度 $\mu$ 的相应上密度概念联系起来。