自仿射集的 Lipschitz 等价性

设 $A$ 为具有整数元素的扩张的 $d\times d$ 矩阵，${\mathcal D}\subset {\mathbb Z}^d$ 为有限数字集。则对 $(A, {\mathcal D})$ 定义唯一的整自仿射集 $K=A^{-1}(K+{\mathcal D})$。本文通过用关于 $A$ 的伪范数 $w$ 替代欧几里得范数，在 $(A, {\mathcal D})$ 上构造双曲图，并证明 $K$ 可等同于双曲边界。此外，若 $(A, {\mathcal D})$ 满足开集条件，我们还证明两个完全不连通的整自仿射集是 Lipschitz 等价的当且仅当它们具有相同的 $w$-Hausdorff 维数，即它们的数字集具有相等的基数。我们将自相似集中的一些著名结果推广到了自仿射集。