与标准及非标准数字系统相关联的有理自仿瓷砖

我们考虑数字系统 $(A,\mathcal{D})$，其中 $A \in \mathbb{Q}^{n\times n}$ 是一个扩张矩阵，数字集 $\mathcal{D}$ 是 $\mathbb{Q}^n$ 的一个合适子集。对于这样的系统，我们关联一个存在于某个表示空间 $\mathbb{K}$ 中的自仿集 $\mathcal{F} = \mathcal{F}(A,\mathcal{D})$。如果 $A$ 是整数矩阵，则 $\mathbb{K} = \mathbb{R}^n$；而在一般的有理数情形下，$\mathbb{K}$ 包含一个额外的螺线管因子。我们给出了 $\mathcal{F}$ 具有正 Haar 测度（即成为有理自仿瓷砖）的判据。我们研究了 $\mathcal{F}$ 的拓扑性质并证明了若干平铺定理。我们的设定非常一般，即允许 $(A,\mathcal{D})$ 为非标准数字系统。标准数字系统 $(A,\mathcal{D})$ 要求 $\mathcal{D}$ 是关于某个自然选取的剩余类环的剩余类代表元的完备系统。我们的工具包括局部紧阿贝尔群的 Frobenius 标准型和特征理论。