有理矩阵数位系统

设 $A$ 为具有有理元素的 $d \times d$ 矩阵，其无绝对值 $|\lambda| < 1$ 的特征值 $\lambda \in \mathbb{C}$，并令 $\mathbb{Z}^d[A]$ 为最小的平凡 $A$-不变 $\mathbb{Z}$-模。我们为数位系统 $(A, \mathcal{D})$（其中 $\mathcal{D}\subset \mathbb{Z}^d[A]$ 有限）的构造建立理论框架，使得对每个 $\mathbf{x}\in \mathbb{Z}^d[A]$ 都存在形如 $$\mathbf{x}= \mathbf{d}_0 + A \mathbf{d}_1 + \cdots + A^{\ell-1}\mathbf{d}_{\ell-1} \qquad(\ell\in \mathbb{N},\;\mathbf{d}_0,\ldots,\mathbf{d}_{\ell-1} \in \mathcal{D})$$ 的有限展开。我们特别强调利用矩阵论、凸几何与 Smith 标准形中的技巧，对给定矩阵 $A$ 显式计算具有此性质的小数位集 $\mathcal{D}$。此外，我们给出了关于此有限性性质之一般结果的新证明，并以统一方式恢复了数域中数位系统的类似有限性结果。