加法自动机与扩张有理矩阵数制吸引子

设 $A$ 为具有有理矩阵项的扩张 $2\times2$ 矩阵，$\mathbb{Z}^2[A]$ 为最小 $A$ invariant $\mathbb{Z}$ 模块。设 $\mathcal{D}$ 为 $\mathbb{Z}^2[A]/A\mathbb{Z}^2[A]$ 完备剩余类，$(\mathcal{A},\mathcal{D})$ 称为以 $A$ 为基数、$\mathcal{D}$ 为数位集的数制。众所周知，$\mathbb{Z}^2[A]$ 中任一向量 $x$ 可唯一写作 $$x = d_0 + Ad_1 + \cdots + A^kd_k + A^{k+1}p,$$ 其中 $k\in\mathbb{N}$ 最小，$d_0,\dots,d_k \in \mathcal{D}$，且 $p$ 来自有限{\em 循环元素}集合，即 $(\mathcal{A},\mathcal{D})$ 的{\em 吸引子}。若总能取 $p=0$，则称 $(\mathcal{A},\mathcal{D})$ 具备{\em 有限性性质}。本文引入有限状态 transducer 自动机，实现对数制中向量 $x\in\mathbb{Z}^2[A]$ 加上 $\pm(1,0)^\top$ 与 $\pm(0,1)^\top$ 的加法。这些自动机用于刻画所有具备有限性质的 $(\mathcal{A},\mathcal{D})$ 对，更一般地刻画这些数制的吸引子。