自动机与 $(\mathbb{Z},+)$ 的 tame 膨胀

本文解决了刻画哪些整数自动集是稳定的这一问题。给定正整数 $d$ 及子集 $A\subseteq \mathbb{Z}$，其 $d$ 进制表示为有限自动机所识别，我们找到了 $x+y\in A$ 在 $\operatorname{Th}(\mathbb{Z},+,A)$ 中为稳定公式的必要条件。结合 Moosa 与 Scanlon 的一个定理，这给出了使得 $(\mathbb{Z},+,A)$ 为稳定的 $d$-自动 $A\subseteq \mathbb{Z}$ 的组合刻画。该刻画通过 Moosa 与 Scanlon 所称的“$F$-集”以及 Derksen 所称的“初等 $p$-嵌套集”来表达。自动机理论方法也被用于构造 $(\mathbb{Z},+)$ 的一些 NIP 膨胀，特别是由幺半群 $(d^\mathbb{N},\times )$ 所作的膨胀。