关于 $(\mathbf{Z},+,0)$ 的扩张

称自然数（严格递增）序列 $(r_{n})$ 为正则的，若其满足以下条件：$r_{n+1}/r_{n}\to\theta\in\mathbb{R}^{>1}\cup\{\infty\}$，且若 $\theta$ 为代数数，则 $(r_{n})$ 满足一个线性递推关系，其特征多项式为 $\theta$ 的极小多项式。我们的主要结果表明，当 $R$ 由正则序列枚举时，$(\mathbb{Z},+,0,R)$ 是超稳定的。我们给出该结果的两种证明。一种依赖于 E. Casanovas 和 M. Ziegler 的结果，另一种依赖于量词消去结果。我们还表明，当 $R$ 由对所有 $m>1$ 模 $m$ 最终周期的正则序列枚举时，$(\mathbb{Z},+,0,<,R)$ 是 NIP 的。