循环群上线性形式系与周期幂零序列的收敛结果

给定正整数$N$和实数$\alpha\in [0, 1]$，令$m(\alpha,N)$表示在所有大小至少为$\alpha N$的集合$A\subset \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$中，所含 3 项算术级数的归一化计数的最小值。Croot 的一个定理指出，当$N$遍历素数趋于$\infty$时，$m(\alpha,N)$收敛，从而回答了 Green 提出的一个问题。利用高阶傅里叶分析的最新进展，我们证明了该定理的一个推广，表明该结果对一般的$k$项级数成立，进而对所有有限复杂度的整数线性形式系成立。我们还获得了关于无线性方程组解集合的最大密度的类似收敛结果。这些结果依赖于我们为有限循环群上的函数构建的正则性方法，该方法用周期幂零序列（periodic nilsequences）来表述，特别利用了 Szegedy 的正则性结果（基于其与 Camarena 的合作工作）以及 Green 和 Tao 的等分布结果。