Siegel引理在线性型系统及其极小点中的应用

考虑一个实矩阵 $\Theta$,其行向量为 $(\theta_{i,1},\ldots,\theta_{i,n})$,其中 $1\leq i\leq m$。使整数 $x_{j},y_{i}$ 对应的线性型系统 $x_{1}\theta_{i,1}+\cdots+x_{n}\theta_{i,n}-y_{i}$ 尽可能小的问题自然引出了普通逼近指数与一致逼近指数,分别记为 $w(\Theta)$ 和 $\widehat{w}(\Theta)$。当 $m=1$ 时,Marnat 与 Moshchevitin 最近建立了比值 $w(\Theta)/\widehat{w}(\Theta)$ 的尖锐下界。我们基于关于与 $\Theta$ 相关的最佳逼近整数向量的一个假设,给出了这一结果的简短新证明。我们的条件性结果推广到一般的 $m>1$(但在该情形下未必最优)。此外,我们的假设在 $m=1, n=2$ 时总是成立,从而无条件地确认了 Jarn\'ik 先前的观察。我们在欧氏空间子空间被格逼近这一更一般的框架下表述了我们的结果。我们进一步建立了判定给定数目 $\ell$ 个连续最佳逼近向量线性无关的准则。我们的方法基于 Siegel 引理。