Hermite-Thue 方程：Pad\'e 逼近与 Siegel 引理

Pad\'e 逼近与 Siegel 引理是丢番图逼近理论中广泛使用的工具。本文工作源于改进 Baker 型线性无关系数的尝试，其途径或是利用 Siegel 引理的 Bombieri-Vaaler 版本来 sharpen Pad\'e 型逼近的估计，或是为尚未知的“孪生型”Hermite-Pad\'e 逼近寻找完全显式表达式。代表这两种方法的适当齐次矩阵方程具有一个 $M \times (L+1)$ 系数矩阵，其中 $M \le L$。该矩阵方程的齐次解向量给出了 Pad\'e 多项式的候选。由于 Siegel 引理的 Bombieri-Vaaler 版本，可通过寻找系数矩阵所有 $M \times M$ 子式的 gcd 来改进矩阵方程最小非零解的上界。在本文中，我们考虑指数函数并证明 $M \times M$ 子式确实存在一个大的公因子，从而提供了应用 Siegel 引理 Bombieri-Vaaler 版本的可能性。进一步，在 $M=L$ 的情形下，该公因子的存在是通向理解指数函数“孪生型”Hermite-Pad\'e 逼近本质的一步。