II 型 Hermite-Pad\'e 逼近向量与一个新的线性无关判据

我们提出一个线性无关判据，并概述其应用。在其最简情形中，它旨在解决如下问题：给定三个实数（通常作为解析函数的特殊值），当我们无法达成完全线性无关时，如何利用同时逼近——即通常源于 II 型 Hermite-Pad\'e 逼近及其适当推广者——证明由 $1$ 与这三个数张成的 $\mathbb{Q}$ 向量空间维数至少为 3。需回顾，I 型与 II 型逼近至少原则上相关：当数值应用在于将两类实际的泛函构造具体化时，二者可如 K.Mahler [34] 一篇著名论文所解释那样相互导出。该关系反映于 $\mathbb{Q}$ 的无穷位处逼近的渐近行为之间的关系中。颇有趣味的是，关于 $\mathbb{Q}$ 的有限位（即素数）处的渐近行为，两种视角分道扬镳，这使得 II 型在特定目的下更为便利。此外，有时我们已知对某组函数的 II 型逼近，而其 I 型逼近并未显式已知。我们的方法可视为标准线性无关判据（可溯至 Siegel）的对偶版本。