$s=0$ 处的狄利克雷 $L$-级数与欧拉系统的稀缺性

我们研究数域 $k$ 上 $\mathbb{G}_m$ 的欧拉系统。受 Coleman 的分配论思想启发，我们提出了一个关于此类系统存在的猜想，该猜想表述初等却严格细于 Kato 关于 $s=0$ 处狄利克雷 $L$-级数的等变玉河数猜想。为研究该猜想，我们发展了“欧拉极限”的抽象理论，并特别证明了该理论中典范的“限制”与“局部化”序列的存在性。利用此方法我们得到了多种新结果，从在 standard $\mu$-vanishing 假设下对 $k$ 为 $\mathbb{Q}$ 或虚二次域时中心猜想的证明，到 $k$ 为全实时 Kato 猜想“负部”的证明。在证明这些结果时，我们还表明一大类 $p$-进表示的更高秩欧拉系统以“主猜想”所预测的方式控制 Iwasawa 理论 Selmer 群的结构。