论非交换岩泽理论及欧拉系统的导数

我们利用[24]中约化行列式函子的理论，对未必交换的有限维可分代数中序的相对 $K_0$-群给出一种新的、具有计算实用性的描述。通过将此方法与人[52]引入的“zeta元”概念向非交换代数的自然推广相结合，我们针对每个奇素数 $p$ 提出了任意数域上 $\mathbb{G}_m$ 的非交换 $p$-进岩泽理论的自然主猜想。该猜想预测了我们引入的典范Rubin-Stark非交换欧拉系统与 $\mathbb{Z}_p$ 的紧支集 $p$-进上同调之间的简单关系，并被证明同时推广了Kurihara及本文作者[19]提出的（交换）高阶主猜想，以及Ritter和Weiss[73]与Coates、Fukaya、Kato、Sujatha和Venjakob[27]发展的非交换岩泽理论主猜想的 $K$-理论形式。特别地，借助这些联系，我们在全实域的伽罗瓦CM扩张情形下获得了支持该猜想的有力证据。我们的方法还导致在任意数域上提出一个精确的Rubin-Stark非交换欧拉系统“高阶导数公式”猜想，并证明其在适当特殊化下可恢复Deligne-Ribet $p$-进 $L$-函数的经典Gross-Stark猜想。进而我们表明，该导数猜想可与非交换 $p$-进岩泽理论主猜想结合，给出获取任意有限伽罗瓦数域扩张上 $\mathbb{G}_m$ 的等变Tamagawa数猜想支持证据的策略，从而广泛推广了[19]的主要结果。