任意长度 Fourier 延拓的快速计算算法

光滑非周期函数在 $[-1,1]$ 上的 Fourier 级数已知会表现出 Gibbs 现象，并且整体收敛缓慢。克服这些问题的一种方法是使用更大域（例如 $[-T,T]$，其中 $T>1$）上的 Fourier 级数，该技术称为 Fourier 延拓或 Fourier 延续。当将其构造为等距点上的离散最小二乘最小化解时，已证明 Fourier 延拓在截断参数 $N$ 下几何收敛。已有文献描述了一种快速的 ${\mathcal O}(N \log^2 N)$ 算法用于计算 $T=2$ 情形下的 Fourier 延拓，相比之下，求解稠密离散最小二乘问题的复杂度为 ${\mathcal O}(N^3)$。我们提出了两种 ${\mathcal O}(N\log^2 N )$ 算法，用于计算一般 $T$ 情形下的这些近似，这得益于利用了 Fourier 延拓与 Prolate Spheroidal Wave 理论之间的联系。第一种算法基于显式计算所谓的周期离散长椭球序列，而第二种算法是纯代数的，仅隐式地基于该理论。