傅里叶延拓的点态与一致收敛性
数值分析
2019-09-12 v2 数值分析
摘要
在区间上对非周期连续函数作傅里叶级数逼近会遭受吉布斯现象，即在端点邻域内存在永久性的振荡过冲。傅里叶延拓通过在更大区间上周期化的傅里叶级数来逼近该函数，从而规避此问题。先前关于傅里叶延拓收敛性的结果集中于 L2 范数下的误差，但本文我们分析傅里叶延拓的点态与一致收敛性（表述为 L2 范数下的最佳逼近）。我们表明傅里叶延拓的点态收敛比经典傅里叶级数更类似于勒让德级数。特别地，与经典傅里叶级数不同，傅里叶延拓在区间端点处产生点态收敛。类似于勒让德级数，端点处的点态收敛比内部慢半个代数阶。证明通过对相关勒贝格函数以及傅里叶延拓的 Jackson 型和 Bernstein 型定理的分析完成。文中给出了数值实验。我们以关于傅里叶延拓的正则化与过采样最小二乘插值版本的开放问题结束本文。
引用
@article{arxiv.1811.09527,
title = {Pointwise and uniform convergence of Fourier extensions},
author = {Marcus Webb and Vincent Coppé and Daan Huybrechs},
journal= {arXiv preprint arXiv:1811.09527},
year = {2019}
}