论 Fourier 延拓对振荡函数的分辨能力

在某一区间上光滑但非周期的函数，其 Fourier 级数缺乏一致收敛性并受 Gibbs 现象影响。然而，它们可以通过在更大区间上周期的 Fourier 级数来精确表示，这通常被称为 Fourier 延拓。当以特定方式构造时，Fourier 延拓具有标准 Fourier 级数的许多相同特征。具体而言，只要函数是光滑的，就可以计算出谱收敛速度的 Fourier 延拓；如果函数是解析的，则收敛速度为指数级，这与光滑/解析的周期函数的 Fourier 级数非常相似。考虑到这一点，本文旨在描述、分析和解释这样一个观察结果：Fourier 延拓与经典 Fourier 级数非常相似，在表示振荡函数时同样具有极佳的分辨特性。分辨能力，或每个波长所需的自由度数，取决于一个用户可控参数，正如我们所展示的，其值在 2 到 \pi 之间变化。前者是最优值，例如由周期函数的经典 Fourier 级数实现；后者是代数多项式逼近的分辨能力。因此，选择适当参数的 Fourier 延拓非常适合具有中高振荡度的问题。