广义傅里叶级数：消除 Gibbs 振荡的非周期函数 N log2(N) 扩展
数值分析
2025-10-17 v1 数值分析
摘要
本文介绍了广义傅里叶级数（Generalized Fourier Series, GFS），这是一种新型谱方法，将经典傅里叶级数扩展到非周期函数。GFS 通过将函数分解为周期性分量和非周期性分量来解决关键挑战，如 Gibbs 现象和非周期情境下的收敛性差问题。周期性部分采用标准傅里叶模组，通过快速傅里叶变换（FFT）高效计算。非周期性分量采用自适应低秩正弦函数，运用非谐波模组，动态调谐以捕捉域边界处的 discontinuities 和导数突变。与传统傅里叶扩展方法不同，GFS 在不要求计算域扩展的情况下实现高精度，为非周期函数提供紧凑且高效的表示。自适应低秩方法在确保准确性的同时最小化计算开销，通常涉及额外的复数模组用于非周期部分。 Furthermore, GFS 显示出高分辨率性能，在周期域内的自由度与 FFT 相当，保持 N log2(N) 的计算复杂度。通过数值实验验证了 GFS 的有效性，展示了其在非周期域准确逼近函数及其导数的能力。凭借其稳健框架和最小计算成本，GFS 在数值偏微分方程、信号处理、机器学习和计算物理学的应用中发挥着重要潜力，为高精度函数逼近提供一种稳健且高效的工具。
引用
@article{arxiv.2510.14731,
title = {Generalized Fourier Series: An N log2(N) extension for aperiodic functions that eliminates Gibbs oscillations},
author = {Narsimha Reddy Rapakaa and Mohamed Kamel Riahi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.14731},
year = {2025}
}