球高斯-拉盖尔基函数的快速傅里叶变换

球高斯-拉盖尔(SGL)基函数，即类型 $L_{n-l-1}^{(l + 1/2)} (r^2) r^{l} Y_{lm}(\vartheta,\varphi)$ 的归一化函数，$|m| \leq l < n \in \mathbb{N}$，$L_{n-l-1}^{(l + 1/2)}$ 为广义拉盖尔多项式，$Y_{lm}$ 为球谐函数，构成了带高斯权重 $\exp(-r^{2})$ 的 $\mathbb{R}^{3}$ 上 $L^{2}$ 空间的一组正交归一基。这些基函数被广泛使用，例如在生物分子动力学模拟中。然而，迄今为止还没有可靠的算法能快速计算函数关于SGL基函数的傅里叶系数。本文提出了此类广义FFT。我们从SGL采样定理出发，该定理允许精确计算带限函数的SGL傅里叶展开。通过分离变量方法并采用快速球傅里叶变换，我们揭示了一类通用的快速SGL傅里叶变换。所有这些算法的渐近复杂度为 $\mathcal{O}(B^{4})$，$B$ 为相应带宽，而 $\mathbb{R}^{3}$ 上的采样点数量随 $B^{3}$ 缩放。这明显改进了朴素边界 $\mathcal{O}(B^{7})$。同时，我们的方法得到了与前向变换渐近复杂度相同的快速逆变换。我们在数值实验中证明了算法的实际适用性。值得注意的是，这是非紧域上首批广义FFT的实现之一。我们以讨论作结，包括真正 $\mathcal{O}(B^{3} \log^{2} B)$ 快速SGL傅里叶变换及逆变换的布局，以及对未来发展的展望。