不可积函数的快速对数 Fourier-Laplace 变换

我们提出了一种高效且极为灵活的数值快速 Fourier-Laplace 变换，它将 Haines 与 Jones [Geophys. J. Int. 92(1):171 (1988)] 引入的、用于多尺度变化函数的对数 Fourier 变换（LFT）推广至不可积函数。特别地，这些情形包括渐近形式 $f(\nu\to0)\sim\nu^a$ 与 $f(|\nu|\to\infty)\sim\nu^b$（其中任意实数 $a>b$）的函数。此外，我们证明：只要函数在实轴附近具有有限张角 $\theta$ 的锥 $|\Im{\nu}|<\theta|\Re{\nu}|$ 内解析，并满足当 $\nu\to 0$ 时 $|f(\nu)f(1/\nu)|<\nu^c$（其中 $c$ 为正常数）——这是具有幂律拖尾函数类的情况——该数值变换便在数据点数上指数级快速收敛。基于这些性质，我们推导出理想的变换参数，并讨论如何将对数 Fourier 变换应用于卷积。对数 Fourier 变换能够以指数级小误差对这些具有幂律拖尾的多尺度（不可积）函数执行此类操作，这使其成为众多物理应用的首选方法，我们通过典型示例予以展示。这些示例包括针对其他数值方法无法企及的已知解析结果的基准测试，以及临界附近的物理模型。