非等距快速傅里叶变换的直接求逆

诸多应用（如 MRI、偏微分方程求解等）需要执行非等距快速傅里叶变换（NFFT）的逆变换，即由给定的 $N$ 个非等距数据计算 $M$ 个傅里叶系数。本文考虑 NFFT 求逆的直接方法。我们针对 $M=N$ 的情形以及欠定和超定情形引入了算法。对于 $M=N$ 的情形，提出了一种复杂度为 $\mathcal O(N\log N)$ 的直接方法，其利用拉格朗日插值与快速求和。对于其余情形，我们利用 NFFT 的矩阵表示来推导算法。由此，我们能够通过修正的伴随 NFFT 在 $\mathcal O(M\log M+N)$ 次算术运算内计算到一定精度的逆 NFFT。最后，我们表明这些方法也可借助框架逼近加以解释。