基于 FFT 的 GMRES 方法用于连接几何中的泊松方程求解

基于快速傅里叶变换（FFT）的求解器对于泊松方程具有高度效率，具备 $O(N \log N)$ 的计算复杂度和优异的并行性能。然而，其应用通常受限于简单规则几何，因为 underlying 离散算子需要满足可分离性要求。本文引入一种新型域分解方法，将 FFT 求解器的适用性扩展至由多个子区域构成的复杂复合域几何。该方法将全局问题转化为通过 Schur 补在界面处耦合的子问题系统。关键挑战在于，Schur 补破坏了直接 FFT 逆求所需的矩阵结构。为克服此困难，我们开发了基于 FFT 的预条件器，以加速求解泊松方程的广义最小残差（GMRES）方法。中心创新点是一种基于不包含 Schur 补的块算子逆的预条件器，该预条件器可通过 FFT 求解器高效实现。最终的预条件化迭代在每一步均保持最优复杂度。数值实验在十字形域上进行，证明所提出的求解器实现了底层有限差分方案预期的二阶精度。此外，其计算性能显著优于基于 Eigen 库的经典稀疏 GMRES 求解器。对于 $10^5$ 网格点的题目，本方法实现了超过40倍的加速。