统一的二维非可分离分数傅里叶变换框架：从几何完备性到应用

一维分数傅里叶变换（FRFT）是傅里叶变换的推广， 在非平稳信号的时间频率分析中具有显著优势。虽然存在各种二维扩展，如二维可分离FRFT（SFRFT）、螺旋算子（GT）、耦合FRFT（CFRFT）以及早期的非可分离定义，但它们 suffer from 理论框架碎片化以及与二维韦伯分布（WD）在几何一致性上的根本性缺失。为此，我们提出了统一的二维非可分离FRFT（NSFRFT）框架。该变换从对称群与特殊正交群的交集（与单位群 U(2) 等价）中理论推导得出，本身具有四个自由度，并在数学上将二维SFRFT、GT和CFRFT作为特殊情况纳入其中。不同于以往的代数推广， 它严格保持二维WD的刚性四维旋转几何，确保几何一致性和数值稳定性。我们推导其基本性质， 并开发了时间复杂度为 O(N^{2} log N) 的高效离散算法。数值仿真验证了二维NSFRFT在分析耦合调制信号方面的优越性，并演示了其在滤波和图像加密解密应用中的鲁棒性。