信号变换理论统一

我们在表示论原理下统一离散傅里叶变换(DFT)、离散余弦变换(DCT)、沃尔希-哈达德变换、Haar 小波变换、卡尔文-洛夫变换(KLT)等多个变换及其连续型（傅里叶变换、傅里叶级数、球面调和函数、分数傅里叶变换）——每个变换都是特定有限或紧致群的每个协方差不变算子的特征基。列主元素通过 Peter-Weyl 定理构建。该统一框架基于代数多样性(AD)框架，识别协方差的匹配群作为二阶信号处理的基础对象。数据依赖的KLT作为平凡匹配群极限；经典变换则出现在循环群、二面体群、初等阿贝尔群、迭代包络群及混合包络群情况中。构成规则覆盖直积、包络积与半直积。Reed-Muller 与算术变换出现于沃尔希-哈达德变换匹配群上的变换基变换。我们提出用于匹配群发现的数据驱动算法DAD-CAD松弛形式，可转化为双 commuter 形式的广义特征值问题，完成操作闭环：任何经验协方差的匹配群均无需专家判断即可发现，噪声感知变体通过 commuter 残差 $\delta$ 与代数着色指数 $\alpha$ 实现。分数傅里叶变换作为 metaplectic $SO(2)$ 情形，采用赫姆霍尔-高斯匹配基，匹配群规模与变换分辨率呈反比结构原理。现代应用（大规模MIMO、图神经网络、Transformer注意力、点云与3D视觉、脑连接、单细胞基因组学、量子信息学）均给出其匹配群。