离散余弦变换的连续 Fourier 推广及其多维推广的性质

描述了一种通用方法,用于实际计算连续函数 $g(t)$ 的离散傅里叶变换(DFT),该函数由其值在一致网格 $F_{N}$ 上的点 $g_{j}$ 给出,该网格由紧半单李群基本区域 $F$ 中有限伴随阶 $N$ 的元素的共轭类生成。该方法的当前实现针对群 SU(2)(此时 $F$ 化为一维线段)以及多维情形下的 $SU(2)\times ... \times SU(2)$。这一最简情形归结为称为离散余弦变换(DCT)的变换,它常被认为只是标准 DFT 的一种特定类型。此处我们表明,当考虑这两种离散变换从离散网格点 $t_j; j=0,1, ... N$ 到所有点 $t \in F$ 的连续推广的性质时,DCT 与标准 DFT 非常不同。(A) 与 DFT 的连续推广不同,(逆)DCT 的连续推广(称为 CEDCT)在网格点 $t_j$ 之间紧密逼近 $g(t)$。(B) 随着 $N$ 增大,CEDCT 的导数收敛于 $g(t)$ 的导数。且 (C) 对 CEDCT 而言局域性原理成立。最后,我们利用二维 DCT 的连续推广来说明其在插值以及二维图像数据压缩方面的潜力。