离散傅里叶变换平方指数系数的快速计算方法

N 点离散傅里叶变换（DFT）是多个信号处理应用的基石。许多应用 operates in real-time，因此 DFT 的计算复杂度是必须优化的关键性能指标。不幸的是，是否能超越快速傅里叶变换（FFT）的 $\mathcal{O}(N\log_2 N)$ 时间复杂度仍是一个在计算理论中未解决的问题。然而，在许多 DFT 应用中——如压缩感知、图像处理和宽带谱分析——只有少量输出信号需要计算，因为信号是稀疏的。这就促使开发能够比 FFT 更高效地计算特定 DFT 系数的算法。本文表明，通过一些基本数学性质，可以大幅度减少计算某些 DFT 系数所需的点数。我们提出了一个算法，可将 DFT 的平方指数系数（SIC，即 $X_{k\sqrt{N}}$，其中 $k=0,1,\cdots, \sqrt{N}-1$，对于平方数 $N$）从 $N$ 个点压缩到 $\sqrt{N}$ 个点，仅需 $N-1$ 次复数求和且无需乘法。在此基础上，可以轻松地应用常规 DFT 算法来计算 SICs，并减少复数乘法的数量。如果 $N$ 为二的幂，可以将本算法与 FFT 结合，以 $\mathcal{O}(\sqrt{N}\log_2\sqrt{N})$ 的时间复杂度计算所有 SICs。