外可定义商与实数有序加法群的NIP扩张

设$\mathcal{R}$为$(\mathbb{R},<,+)$通过$\mathbb{R}^n$的闭子集与连续函数$f : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$所作的$\mathrm{NIP}$扩张。则$\mathcal{R}$是概局部o极小。由此可知，若$X \subseteq \mathbb{R}^n$在$\mathcal{R}$中可定义，则对任意$k \geq 0$，$X$的$C^k$点在$X$中稠密。这源于一个关于局部紧群的$\mathrm{NIP}$扩张的更一般定理，而该定理本身又源于一个关于由外可定义且$\bigwedge$可定义的等价关系所作可定义集商的结果。我们还证明$\mathcal{R}$强依赖当且仅当$\mathcal{R}$是o极小的或是某个$\alpha > 0$下的$(\mathbb{R},<,+,\alpha\mathbb{Z})$极小的。