有序实向量空间扩张中的粗维数与可定义集

设 $E \subseteq \mathbb{R}$ 是无处稠密的。若 $(\mathbb{R},<,+,(x \mapsto \lambda x)_{\lambda \in \mathbb{R} }, E)$ 不能定义每个 $\mathbb{R}^n$ 中的每个有界 Borel 子集，则对每个 $s > 0$，当 $m \in \mathbb{N}$ 充分大时我们有 $$| \{ k \in \mathbb{Z}, -m \leq k \leq m - 1 : [k,k+1] \cap E \neq \emptyset \} | < m^s$$。则存在 $n \in \mathbb{N}$ 与线性映射 $T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 使得 $T(E^n)$ 是稠密的。由此推出：若 $E$ 另外还是无处稠密的，则 $(\mathbb{R},<,+,0,(x \mapsto \lambda x)_{\lambda \in \mathbb{R}}, E)$ 定义每个 $\mathbb{R}^n$ 中的每个有界 Borel 子集。