不存在线性完美 2-纠错 Lee 码的维数集合具有正密度

Golomb-Welch 猜想指出,当 $n\geq 3$ 且 $e\geq 2$ 时,$\mathbb{Z}^n$ 中不存在完美 $e$-纠错 Lee 码 ($PL(n,e)$ 码)。该猜想的一个特例是 $e=2$。在 A. Campello、S. Costa 和本文作者最近的一篇论文中,证明了不存在线性 $PL(n,2)$ 码的维数 $n\geq 3$ 的集合 $\mathcal{N}$ 是无限的,且 $\#\{n \in \mathcal{N}: n\leq x\} \geq \frac{x}{3\ln(x)/2} (1+o(1))$。在本文中,我们给出一个简单且初等的论证,将上式结果改进为 $\#\{n \in \mathcal{N}: n\leq x\} \geq \frac{4x}{25} (1+o(1))$。特别地,这意味着集合 $\mathcal{N}$ 在 $\mathbb{Z}^+$ 中具有正(下)密度。