半径为 2 且维度任意大的拟完美 Lee 码

本文给出了空间 $\mathbb Z_p^n$ 上 2-拟完美 Lee 码的一种构造，其中 $p$ 为素数，$p\equiv \pm 5\pmod{12}$ 且 $n=2[\frac{p}{4}]$。已知存在无穷多个这样的素数。Golomb 和 Welch 猜想，对于维度 $n\geq 3$ 且半径 $r\geq 2$ 的情形，Lee 度量下的完美码不存在。该猜想已被证明对于大半径以及低维度均成立。本文找到的码非常接近完美码，这凸显了该猜想的困难程度。一系列计算表明相关图是 Ramanujan 图，这可能为编码理论与图理论之间提供进一步的联系。