与某些准完美Lee码相关的Cayley图是Ramanujan图

令 $\Z_n[i]$ 为模正整数 $n$ 的高斯整数环。最近，Camarero和Mart\'{i}nez [IEEE Trans. Inform. Theory, {\bf 62} (2016), 1183--1192] 证明，对于每个满足 $p\equiv \pm 5 \pmod{12}$ 的素数 $p>5$，Cayley图 $\mathcal{G}_p=\textnormal{Cay}(\Z_p[i], S_2)$（其中 $S_2$ 为 $\Z_p[i]$ 的单位集）在 $\Z_p^m$ 上诱导出一个2-准完美Lee码，其中 $m=2\lfloor \frac{p}{4}\rfloor$。他们还猜想，对于每个满足 $p\equiv 3 \pmod{4}$ 的素数 $p$，$\mathcal{G}_p$ 是Ramanujan图。本文解决了该猜想。我们的主要工具是Deligne于1977年给出的用于估计一类特定三角和的界，以及Lov\'{a}sz于1975年（或Babai于1979年）给出的有限阿贝尔群Cayley图特征值的结论。我们的证明技术或可推动谱图论、特征标理论与编码理论之间相互作用的更多工作，并可能为著名的关于完美Lee码存在性的Golomb--Welch猜想提供新思路。