${\rm SL}_2[\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}]$ 随机 Cayley 图上的量子混沌

我们研究了当素数 $p$ 趋于无穷时，${\rm SL}_2[\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}]$ 的随机 Cayley 图特征值和直径的统计行为。我们证明了随机 Cayley 图例外特征值（即绝对值大于最优谱界的特征值）数目的一个密度定理。我们的数值结果表明，当素数 $p$ 趋于无穷时，${\rm SL}_2[\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}]$ 的随机 Cayley 图与显式的 LPS Ramanujan 射影图 $\mathbb{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ 具有最优谱隙和直径。