阿贝尔群随机 Cayley 图的几何

考虑有限阿贝尔群 $G$ 关于均匀随机选取的 $k$ 个生成元的随机 Cayley 图，其中 $1 \ll \log k \ll \log |G|$。抽取顶点 $U \sim \operatorname{Unif}(G)$。我们证明，在温和条件下，从单位元到 $U$ 的图距离 $\operatorname{dist}(\mathsf{id},U)$ 集中在一个特定值 $M$ 附近，该值是 $\mathbb Z^k$ 中基数至少为 $|G|$ 的球的最小半径。换言之，除 $o(|G|)$ 个 $G$ 的元素外，其余所有元素到单位元的距离均落在区间 $[M - o(M), M + o(M)]$ 内。在 $k \gtrsim \log |G|$ regime 下，我们证明图的直径也渐近地为 $M$。本着 Aldous 和 Diaconis (1985) 猜想的精神，此 $M$ 仅依赖于 $k$ 和 $|G|$，而不依赖于 $G$ 的代数结构。记 $d(G)$ 为 $G$ 的生成子集的最小大小。我们证明，当 $k - d(G) \asymp k$ 且 $|G|$ 位于 $\mathbb N$ 的一个密度为 1 的子集内，或当 $k - 2 d(G) \asymp k$ 时，谱隙的阶为 $|G|^{-2/k}$。对于阿贝尔群，这推广了 Alon 和 Roichman (1994) 的著名结果。上述所有结果在随机 Cayley 图上均以高概率成立。