李型有限单群直径界的一个改进

对于有限群 $G$，令 $\mathrm{diam}(G)$ 表示 $G$ 的连通 Cayley 图的最大直径。Babai 的一个著名猜想指出，当 $G$ 为非交换有限单群时，$\mathrm{diam}(G)$ 被 ${(\log_{2} |G|)}^{O(1)}$ 所界。设 $G$ 为定义在域 $F_{q}$ 上、李秩为 $n$ 的李型有限单群。Babai 猜想在 $n$ 有界时已被验证，但在 $n$ 无界时仍远未解决。最近，Biswas 与 Yang 证明了 $\mathrm{diam}(G)$ 被 $q^{O( n {(\log_{2}n + \log_{2}q)}^{3})}$ 所界。我们证明事实上成立 $\mathrm{diam}(G) < q^{O(n {(\log_{2}n)}^{2})}$。注意，即使 $q$ 很大，对于大的 $n$，我们的界也显著小于 $G$ 的阶。作为应用，我们更一般地证明了对 $\mathrm{GL}(V)$ 的任意子群 $H$ 均成立 $\mathrm{diam}(H) < q^{O( n {(\log_{2}n)}^{2})}$，其中 $V$ 为定义在域 $F_q$ 上的 $n$ 维向量空间。