若干有限群族的一致多对数直径界

固定素数 $p$ 与整数 $m$，满足 $p> m \geq 2$。定义有限群族 $$G_n :=SL_m (\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z})$$ 其中 $n=1,2,...$。我们将证明存在两个正常数 $C$ 与 $d$，使得对任意 $n$ 及任意生成集 $S\subseteq G_{n}$，$$diam(G_n,S) \leq C \cdot log^d (|G_n|)$$ 其中 $diam (G,S)$ 为有限群 $G$ 相对于生成集 $S$ 的直径，定义为对所有 $g \in G$，$S \cup S^{-1}$ 中表示 $g$ 的最短字的长度的最大值。该结果表明这些有限群族相对于任意生成集具有多对数直径界。此结果的证明还给出了寻找任意元素之多对数表示的高效算法。此外，其表明对于 $m=2$，对数界中的幂次 $d$ 可任意接近 3，而对于 $m>2$ 可任意接近 4。