对称群的随机生成元：直径、混合时间和谱间隙
群论
2014-03-11 v3 组合数学
概率论
摘要
设g, h是G=Sym(n)或G=Alt(n)的一对随机生成元。我们证明，当n→∞时，概率趋于1，(a) G关于S={g,h,g^{-1},h^{-1}}的直径至多为O(n^2 (log n)^c)，(b) G关于S的混合时间至多为O(n^3 (log n)^c)。（c和隐含常数都是绝对的。）这些界远低于已知的最强最坏情况界（Helfgott-Seress, 2013）；它们大致匹配最坏已知例子。我们还给出了谱间隙的一个改进但仍非恒定的界。我们的结果基于(Babai-Beals-Seress, 2004)中的算法与随机置换对几乎肯定在ℓ元组上起扩张作用这一事实的结合，其中ℓ是任意常数（Friedman et al., 1998）。
引用
@article{arxiv.1311.6742,
title = {Random generators of the symmetric group: diameter, mixing time and spectral gap},
author = {Harald A. Helfgott and Ákos Seress and Andrzej Zuk},
journal= {arXiv preprint arXiv:1311.6742},
year = {2014}
}