交错群直幂的直径

迄今为止，已证明若$G$为阿贝尔群，则对任意生成集$G^n$的直径为$O(n)$；若$G$为幂零群、对称群或二面体群，则存在最小规模的生成集，使得$G^n$的直径为$O(n)$ \cite{Karimi:2017}。在\cite{Dona:2022}中已证明若$G$为非阿贝尔单群，则对任意生成集$G^n$的直径为$O(n^3)$。本文估计交错群$A_n$（$n \geq 4$）直幂的直径，即一类非阿贝尔单群。我们证明对$A_4^n$存在最小规模的生成集，使得$A_4^n$的直径为$O(n)$。对$n \geq 5$，我们证明对$A_n^2$存在最小规模的生成集，使得$A_n^2$的直径至多为$O(ne^{(c+1) (\log\,n)^4 \log \log n})$，其中绝对常数$c >0$。最后对$1\leq n \leq 8$，我们给出$A_5^n$的规模为2的生成集，并证明对这些生成集$A_5^n$的直径为$O(n)$。这些结果进一步佐证了\cite{Karimithesis:2015}中于2015年提出的猜想。