某些 Cayley 图直径的对数界

设 $S\subset\text{GL}_n(\mathbb Z)$ 为有限对称集。我们证明,若 $\Gamma=\langle S\rangle$ 的 Zariski 闭包是 $\text{SL}_d$ 或特殊仿射线性群的乘积,则 Cayley 图 $\text{Cay}(\Gamma/\Gamma(q),\pi_q(S))$ 的直径为 $O(\log q)$,其中 $q$ 为任意正整数,$\pi_q:\Gamma\to \Gamma/\Gamma(q)$ 为模 $q$ 约化诱导的典范投影,且隐含常数仅依赖于 $S$。