$SL_n(\mathbb F_p)$ 的对数围长 expander 图

我们给出了有限 4-正则图 $(\Gamma_k)_{k\in \mathbb N}$ 的显式构造,满足当 $k\to\infty$ 时 ${girth \Gamma_k\to\infty}$,且对所有 $k\in\mathbb{N}$ 存在某个 $D>0$ 使得 $\frac{diam \Gamma_k}{girth \Gamma_k}\leqslant D$。对于每个固定维度 $n\geqslant 2$,我们在 $SL_{n}(\mathbb{Z})$ 中找到一对矩阵,使得 (i) 它们生成一个自由子群;(ii) 对于所有足够大的素数 $p$,它们的模 $p$ 约化生成 $SL_{n}(\mathbb{F}_{p})$;(iii) $SL_{n}(\mathbb{F}_{p})$ 的相应 Cayley 图的围长对于某个 $c_n>0$ 至少为 $c_n\log p$。依赖于增长性结果(未使用所涉及图的扩张性质),我们观察到这些 Cayley 图的直径至多为 $O(\log p)$。这给出了当 $p\to\infty$ 时 $SL_n(\mathbb F_p)$ 的有限 4-正则 Cayley 图的无穷序列,具有大围长和有界的直径与围长之比。这是所有维度 $n\geqslant 2$ 上的首批显式示例(所有先前的示例均在 $n=2$ 时)。此外,它们恰好是 expander。与 Margulis 和 Lubotzky-Phillips-Sarnak 的经典构造一起,这些新图是仅有的已知显式对数围长 Cayley 图 expander。