阿贝尔群上几乎所有随机游走的截断现象

考虑有限群 $G$ 关于均匀随机选取的 $k$ 个生成元的随机 Cayley 图，其中 $1 \ll \log k \ll \log |G|$；记其为 $G_k$。Aldous 和 Diaconis（1985）的一个猜想断言，当 $k \gg \log |G|$ 时，该图上的随机游走表现出截断现象。此外，截断时间应仅为 $k$ 和 $|G|$ 的函数（至次主导阶）。这在 90 年代对所有阿贝尔群得到了验证。我们将该猜想推广到 $1 \ll k \lesssim \log |G|$。在条件 $k - d(G) \gg 1$ 下（其中 $d(G)$ 是 $G$ 的最小生成子集大小，这几乎是最优的），我们建立了所有阿贝尔群的截断现象。截断时间（抽象地）用 $\mathbb Z^k$ 上随机游走的熵来描述。这一抽象定义使我们能够推断：当 $d(G) \ll \log |G|$ 且 $k - d(G) \asymp k \gg 1$ 时，截断时间可写为仅为 $k$ 和 $|G|$ 的函数；而当 $d(G) \asymp \log |G| \asymp k$ 时则并非如此。对于某些 $k$ 的区间，我们找到了收敛到平衡的极限轮廓。Wilson（1997）猜想，在所有大小不超过 $2^d$ 的群中，$\mathbb Z_2^d$ 给出了 $G_k$ 最慢的混合时间。我们给出部分答案，验证了幂零群的该猜想。这是通过一个具有独立意义的幂零群 $G$ 与相应阿贝尔群 $\overline G$（即 $G$ 下中心列中阿贝尔商的直接和）混合时间之间的比较结果得到的。我们用它来改进 Alon 和 Roichman（1994）的著名结果：我们对幂零群 $G$ 证明，若 $k - d(\overline G) \gtrsim \log |G|$，则 $G_k$ 是扩张图。作为另一推论，我们建立了具有相对较小换位子的幂零群（包括高维特殊群，如 Heisenberg 群）的截断现象。