对称有限幅度误差信道中码的 Elias 型界

我们研究对称有限幅度误差信道中 $\mathbb{Z}^n$ 的完美纠错码，其中整数向量至多有 $e$ 个坐标可能被改变，改变值的幅度至多为 $s$。在几何上，此类码对应于用对称有限幅度误差球 $\mathcal{B}(n,e,s,s)$ 对 $\mathbb{Z}^n$ 进行平铺。给定 $n$ 和 $s$，我们将 Hamming 度量下 Elias 界的几何思想适配到为该信道量身定制的距离 $d_s$ 上，并在不假设任何格结构的条件下，推导出完美码/平铺存在性关于 $e$ 的新必要条件。我们的主要结果根据误差幅度识别出两种不同的情形。对于小误差幅度（$s \in \{1, 2\}$），我们证明如果可纠正误差的数量不超过 $n$ 的某个比例，则其渐近界为 $e = \mathcal{O}(\sqrt{n \log n})$。相比之下，对于更大的幅度（$s \geq 3$），我们建立了一个显著更紧的界 $e < \sqrt{12.36n}$，该界在 $e$ 无需低于 $n$ 的给定比例的任何限制下均成立。最后，通过将我们的方法扩展至非完美码，我们推导出了填充密度的上界，表明对于可纠正线性或 $\Omega(\sqrt{n})$ 数量误差的码，其密度受限于与误差幅度 $s$ 成反比的因子。