关于 Hamming 图中半径为 1 的球的多重填充

Hamming 度量空间中的 $\lambda$-重 $r$-填充（多重半径-$r$ 覆盖）是一个码 $C$，使得以 $C$ 中元素为中心的半径-$r$ 球对每个空间顶点的覆盖次数不多于（分别不少于）$\lambda$ 次。著名的 $r$-纠错码对应于 $\lambda=1$ 的情形，而一般地，多重 $r$-填充与列表可解码码相关。我们 (a) 提出了当 $q$ 增长时 $q$ 元 $2$-重 $1$-填充的最大尺寸的渐近界；(b) 证明了长度为 $n$ 的 $q$ 元距离-$2$ MDS 码在 $q\ge 2n$ 时是最优的 $n$-重 $1$-填充；(c) 导出了二元 $\lambda$-重 $1$-填充尺寸的上界和二元多重半径-$1$ 覆盖尺寸的下界（最后一个界允许更新小参数表）；(d) 分类了直到长度 $9$ 的所有最优二元 $2$-重 $1$-填充，特别地，确定了长度为 $9$ 的二元 $2$-重 $1$-填充的最大尺寸为 $96$；(e) 证明了 $1$-完美 unitrade 的一些性质，其为 $2$-重 $1$-填充的特例。关键词: Hamming 图, 多重球填充, 两重球填充, 列表可解码码, 多重覆盖, 完全正则码, 线性规划界