正规二元覆盖码的密度

覆盖半径为 $R$ 的二元码是超立方体 $Q_n=\{0,1\}^n$ 的一个子集 $C$，使得每个 $x\in Q_n$ 与某个码字 $c\in C$ 的汉明距离不超过 $R$，其中 $R$ 尽可能小。对固定坐标 $i\in[n]$，对 $b=0,1$ 定义 $C(b,i)$ 为第 $i$ 位为 $b$ 的码字集合。若存在 $i\in[n]$ 使得对任意 $v\in Q_n$，$v$ 到 $C(0,i)$ 与 $C(1,i)$ 的汉明距离之和至多为 $2R+1$，则 $C$ 称为正规的。我们新定义了非对称覆盖码正规的含义，并分别考虑常半径 $R$ 的对称与非对称正规覆盖码的最坏渐近密度 $\nu^*(R)$ 与 $\nu^*_+(R)$。利用概率删除法，以及改编自 Krivelevich、Sudakov 和 Vu 先前工作的分析，我们证明二者均以上界 $e(R\log R + \log R + \log\log R+4)$ 为界，这给出了最小尺寸常半径覆盖码仍可能为正规的证据。