整数群稳定扩张中的乘法结构

我们定义了通过一元谓词对 $(\mathbb{Z},+,0)$ 进行扩张的两个族，并证明它们的理论是 $U$-秩为 $\omega$ 的超稳定理论。第一个族由扩张 $(\mathbb{Z},+,0,A)$ 组成，其中 $A$ 是 $\mathbb{N}$ 的有限生成乘法子幺半群的一个无限子集。利用这一结果，我们还证明了对所有形如 $\{q^n:n\in\mathbb{N}\}$（其中 $q\in\mathbb{N}_{\geq 2}$）的一元谓词对 $(\mathbb{Z},+,0)$ 进行扩张的稳定性。第二个族由集合 $A\subseteq\mathbb{N}$ 组成，这些集合渐近地接近 $\mathbb{Q}$-线性无关的递增序列 $(\lambda_n)_{n=0}^\infty\subseteq\mathbb{R}^+$，使得 $\{\frac{\lambda_n}{\lambda_m}:m\leq n\}$ 是闭且离散的。