最优多项式回归

设 $P\in\Z[n]$ 且 $P(0)=0$ 以及 $\VE>0$。我们利用傅里叶解析技术证明，如果 $N\geq \exp\exp(C\VE^{-1}\log\VE^{-1})$ 且 $A\subseteq\{1\...,N\}$，则必存在 $n\in\N$ 使得 $$\frac{|A\cap (A+P(n))|}{N}>(\frac{|A|}{N})^2-\VE。$$ 除此之外，我们还利用同样的傅里叶解析方法证明，如果 $A\subseteq\N$，则对任意 $\VE>0$，\emph{$\VE$-最优回归时间}集合 $$R(A,P,\VE)=\{n\in \N \,:\,\D(A\cap(A+P(n)))>\D(A)^2-\VE\}$$ 是 syndetic 集。此外，我们证明 $R(A,P,\VE)$ 在每个足够长的区间内都是\emph{稠密}的，即存在一个 $L=L(\VE,P,A)$，使得对于所有满足 $|I|\geq L$ 的自然数区间 $I$，有 $$|R(A,P,\VE)\cap I| \geq c(\VE,P)|I|$$ 其中 $c(\VE,P)=\exp\exp(-C\,\VE^{-1}\log\VE^{-1})$。